lunedì 23 giugno 2014

Il Lunedì del Locandiere.

Oh my God! Ma questo è il penultimo appuntamento del Lunedì del Locandiere prima della pausa estiva!
Eh? Non sapete di cosa sto parlando?
Ma sì! Il Lunedì del Locandiere viene sospeso sempre durante i mesi di Luglio e Agosto, del resto si sa, d'estate i servizi si riducono all'essenziale e anche il Locandiere ha bisogno di un po' di svago. Ma quindi al Lunedì non ci saranno più i tuoi post polverizzagonadi? Indeed. Beh, non è che ci sarà proprio il vuoto totale...sapete com'è, ci sarebbero anche quelle storie di cui vi parlavo...ma, basta, torniamo a noi. Che il tempo è tiranno...e un pochino anche lo spazio su Blogspot.

Ecco introduci l'articolo che è meglio.
Oggi si parla di Fisica, giusto per alleggerire (ah ah ah ah!) la giornata. Più in dettaglio parleremo del moto dei proiettili; ma prima, com'è d'usanza, facciamo una mini introduzione, più che altro per quelli che di fisica non ne masticano assai.

Premessa: Posizione, Spostamento, Velocità e Accelerazione.
In Fisica, le varie grandezze considerate possono essere espresse con dei numeri (come la massa e il tempo), dette anche grandezze scalari o scalari, o attraverso l'uso di vettori (come la posizione e la velocità). Un vettore è definito solo se si specificano una direzione, un verso e un valore numerico, il quale, per farla breve, corrisponde alla lunghezza del vettore stesso. Per fare un esempio: supponiamo di avere un punto P e un punto Q, tracciamo un vettore da P a Q. La direzione è da P a Q, il verso è indicato dalla freccia, mentre la lunghezza del vettore è il suo modulo cioè un numero.


Indirettamente abbiamo mosso i primi passi verso la definizione di vettore spostamento. Il vettore spostamento localizza il punto Q rispetto al punto P. In fisica i vettori vengono indicati con una lettera in grassetto (es vettore posizione r), oppure mettendo una freccetta sopra la lettera. Noi useremo la prima notazione. Esistono poi dei vettori molto particolari, chiamati anche vettori unitari o versori, questi hanno la caratteristica di avere modulo uguale 1 (per questo sono vettori unitari). Di grande utilità fisica sono i vettori unitari diretti lungo gli assi coordinati x,y e z. E tra un poco vedremo anche il perché!


|i| = |j| = |k| = 1

|n|, così si indica il modulo di un vettore (un po' come si usa in matematica). Ora che abbiamo dato qualche notizia sui vettori, che non approfondiremo, ci prepariamo ad entrare nel mondo della meccanica.

I rispettivi versori degli assi cartesiani: i per x, j per y e k per z.
La meccanica si occupa dello studio del moto, essa è divisa in tre parti: la cinematica, che studia il moto dei corpi indipendentemente da ciò che causa il moto, la dinamica, comprende le leggi del moto e studia il movimento dei corpi in relazione alle cause che lo provocano, e la statica, che si occupa dell'equilibrio dei corpi. La differenza tra moto e quiete di un corpo è molto intuitiva. Un corpo è in moto se la posizione dei punti che lo compongono cambia nel tempo, rispetto ad altri corpi. Di conseguenza nel moto sono presenti i concetti di spazio e tempo. L'insieme di corpi rispetto a cui si valuta il moto è il sistema di riferimento, per tanti problemi di fisica si usa il sistema di riferimento terrestre.
Possiamo ora definire il concetto di punto materiale, ossia un'entità senza struttura interna né estensione. Lo so, non è facile da capire, tuttavia per studiare alcuni moti è più semplice associare il corpo ad un punto o ad un insieme di punti. Abbiamo un sistema di riferimento, abbiamo gli assi coordinati, i punti materiali, i vettori, lo spazio e il tempo, cosa manca? La definizione di posizione, spostamento, velocità e accelerazione.
Il vettore posizione ci definisce in forma vettoriale la posizione di un punto nello spazio rispetto al nostro sistema di riferimento.

Nel nostro caso r è il vettore posizione di P rispetto all'origine O dei nostri assi cartesiani. Possiamo scrivere r come la somma di opportuni vettori, cioè r = xi + yj (eccoli i versori!). Ovviamente questa scrittura può essere adattata a seconda del sistema di riferimento (se comprende una, due o tre coordinate cartesiane). Se il nostro punto materiale è birichino e cambia posizione, allora dovremo tracciare un nuovo vettore detto vettore spostamento Δr. Il Δ (delta), in fisica, indica sempre una variazione di una qualche quantità.


Se il nostro punto si sposta dalla posizione P alla posizione Q, il vettore posizione può essere scritto come Δr = r2 - r1 = (x2 - x1)i + (y2 - y1)j.
Se la posizione di un oggetto ci dice dove esso si trovi rispetto ad un sistema di riferimento, la velocità ci dice con che rapidità e in quale direzione esso si muove. La velocità media di un corpo, vm (nei libri di fisica potreste trovarla scritta in modo diverso), in un intervallo di tempo compreso tra t1 e t2 è:

vm = Δr / Δt = (r2 - r1) / (t2 - t1)

Si noti che il tempo non è un vettore, ma lo spostamento sì! Dunque la velocità media ci dice che velocità ha un punto in un "certo intervallo di tempo"; e se volessimo sapere la velocità  del punto in un particolare momento? Prenderemo intervalli di tempo Δt sempre più piccoli (ovvero la differenza tra t2 e t1 diventa sempre più piccola), così che anche l'intervallo Δr diventa sempre più piccolo.

Detto in matematichese, si fa il limite per Δt→ 0, così che il rapporto Δr/Δt tende a v (velocità istantanea). Il discorso del passaggio al limite può non essere così intuitivo, ma noi dobbiamo immaginare di prendere degli intervalli di tempo sempre più piccini, cosa succede? Se l'intervallo di tempo diventa piccolino, allora anche Δr lo diventa, e questo perché in spazi di tempo più ridotti, il nostro punto materiale avrà coperto una distanza sempre più piccola, fino a quanto Δt = 0, quindi avremo il valore di un istante, e Δr = 0 anche lui! Notate che se Δr = 0, non significa che il punto materiale è sparito, ma si ha il valore della posizione del punto in una data area ad un dato istante.  Detto altrimenti, con le derivate, si ha che:

v = dr/dt

Se l'unità di misura dello spostamento è il metro (m), l'unità di misura della velocità è il metro su secondo (m/s). Infine l'accelerazione di un corpo esprime con che rapidità varia la velocità, sia in modulo che in direzione. L'accelerazione media nell'intervallo compreso tra t1 e t2 è:

am = Δv / Δt = (v2 - v1) / (t2 - t1)

Anche in questo caso, facendo il limite per Δt → 0, il rapporto Δv / Δt è uguale ad a, cioè all'accelerazione istantanea del corpo in un istante di tempo. Perciò:

a = dv/dt

Inoltre, poiché

v = dr/dt   e   a = dv/dt

Sostituendo si ha:

a = (d / dt) (dr/dt) = d²r/dt²

Se l'unità di misura della velocità è m/s, allora l'unità di misura dell'accelerazione è m/s², ciò perché c'è un tempo al quadrato nell'espressione. Il discorso dell'accelerazione può essere approfondito tramite lo studio di grafici; ma noi non lo faremo, poiché ho notato l'occhio vitreo di voi Avventori. Sicché passiamo subito al nocciolo della questione, dopo siffatto parlare a vanvera!

1. Il moto con accelerazione costante.
Prima di parlare di proiettili è necessario fare un'altra piccola precisazione: il moto dei proiettili è un moto con accelerazione costante. L'accelerazione è costante quando questa è uguale all'accelerazione media, detto in formule:

a = am = Δv / Δt 

Ora poniamo: v2 = vf = v, v1 = vi = v0, t2 = tf = t e t1 = ti = 0. vv è la velocità finale del corpo al tempo t2 = t= t; mentre v1 = vi = v0 è la velocità iniziale del corpo quando il tempo è stato posto uguale a 0 (cioè quando iniziamo la nostra misura). Ora ricaviamo alcune relazioni matematiche che ci saranno utili parlando di proiettili. Sapendo che: 

a = am = Δv / Δt    e che   Δv / Δt  =  (v2 - v1) / (t2 - t1)

Sostituendo i valori con le relazioni trovate si ha che:

a = ( v0) / (t - 0) =  ( v0) / t

Risolvendo questa equazione rispetto a v, troviamo che la velocità finale del corpo è:

v = v0 + at    (1.a)

(la matematica che c'è alla base di questa operazione è molto semplice, se non vi fidate potete confrontare anche le unità di misura!). Il moto dei proiettili è un moto a velocità costante in due dimensioni, perciò può essere utile dividere la velocità nella sua componente lungo x e nella sua componente lungo y, c'est à dire:

vx = vx0 + axt  e  vy = vy0 + ayt    (1.b)

Infine c'è un'ultima utile relazione da ricavare, ossia la posizione. Senza approfondire il discorso matematico, si può trovare un'espressione per r trovando un'opportuna equazione la cui derivata ci dia l'equazione 1.a. Cioè:

r = r0 + v0t + 1/2 (at²)    (1.c)

Analogamente a quanto fatto prima, scriviamo due equazioni per x e per y del tutto simili alla 1.c.

x = x0 + vx0 + 1/2 (axt²)  e  y = y0 + vy0 + 1/2 (ayt²)    (1.d)

Le due equazioni mostrano che il moto nella direzione x e quello nella direzione y sono indipendenti l'uno dall'altro

2. Il moto dei proiettili.
Un corpo che sia in volo dopo essere stato lanciato viene definito proiettile. Se il corpo ha densità di massa sufficientemente elevata (tipo una palla da biliardo), possiamo trascurare l'effetto dell'attrito dell'aria e si può supporre che l'accelerazione del corpo sia dovuta solamente alla gravità, cioè si è in presenza di un moto con accelerazione costante. Consideriamo lo schema sottostante.


Orientiamo x orizzontalmente e l'asse y verticalmente, siccome l'accelerazione dipende solamente dalla gravità, abbiamo che: 

a = -gj

ax = 0  e  ay = -g (cioè è orientata verso il basso)

Dove g è l'accelerazione di gravità ed è circa 9,8 m/s². Supponiamo che il proiettile venga lanciato in modo che la velocità iniziale v0 formi un angolo θ0 con l'asse x (cfr la figura sopra). θ0 è chiamato anche angolo di proiezione. Possiamo scomporre la velocità iniziale nelle sue componenti lungo y e x usando un po' di logica e trigonometria, cioè:

vx0 = v0 cosθ0  e  vy0 = v0 sinθ0  (2.a)

Dove v0 è la velocità iniziale del proiettile. Sostituendo le espressioni di vx0 e  vy0 nelle equazioni 1.b., abbiamo:

vx = v0 cosθ0  e  vy = v0 sinθ0 - gt   (2.b)

 Si noti che vnon ha la componente dell'accelerazione poiché abbiamo posto che a= 0, mentre ay = -g. Ma se facciamo coincidere l'origine del nostro sistema di riferimento (assi cartesiani) con la posizione iniziale del proiettile, oltre ad essere dei fighi della stramadonna, abbiamo che x0 = y0 = 0, perciò, dalle equazioni (1.d) si ha che:

x = (v0 cosθ0)t  e  y = (v0 sinθ0) - 1/2 (gt²)  (2.c)

Se c'è qualcosa che non vi torna nei calcoli armatevi di carta e penna e fate le opportune sostituzioni, oppure chiedete nei commenti e vedrò di rispondervi! Comunque, da tutta questa considerazione possiamo dire che il moto lungo l'asse x può essere considerato un moto in una dimensione con velocità costante, e il moto lungo l'asse y può essere considerato un modo in una dimensione con accelerazione costante. A questo punto vi sorgeranno giustamente due domande: Perché tutta questa premessa? Perché non hai ancora parlato di proiettili oste della malora? Oppure, se volete, perché devi parlare proprio di fisica???
Supponiamo che voi siate delle brutte persone,  e se leggete il mio blog un pochino lo siete in realtà, avete un cannone che spara proiettili con un moto parabolico, pigiando un semplice tasto. Supponiamo sempre che voi siate dall'altra parte di un fiume impossibile da guadare e che, dall'altra parte, in una casetta, nel suo bel podere si trovi il vostro acerrimo nemico: Camillo.
Camillo è all'oscuro del vostro piano malefico per eliminarlo, ma voi siete furbi e il vostro poderoso cannone è pronto a seminare morte e distruzione. Ora, voi conoscete tutte o quasi le incognite di cui sopra, l'unica cosa che vi manca è il calcolo di alcuni parametri necessari ad eliminare Camillo. Ma quali sono questi parametri necessari? Semplice: traiettoria del proiettile, tempo di salita, altezza massima raggiunta dal proiettile gittata di un proiettile.
Possiamo ricavare la traiettoria di un proiettile eliminando il tempo nelle espressioni (2.c). Risolvendo rispetto a t l'equazione per x, si ottiene: 

t = x / (v0 cosθ0)

Sostituendo questo valore nell'espressione di y e riordinando i termini otteniamo l'espressione per la traiettoria:

y = (tg θ0)x - [g/ 2(v0 cosθ0)²] x²

Consideriamo ora l'istante di tempo (tm) in cui il proiettile raggiunge la sua altezza massima, cioè il tempo di salita. Sapendo che vy = 0 quando t = tm, dall'equazione (2.b) otteniamo: vy = v0 sinθ- gtm = 0, e risolvendo rispetto a tm si ha:

tm (v0 sinθ0) / g

L'altezza massima (hm) è il valore di y per t = tm. Sostituendo y = hm e  t = tm (v0 sinθ0) / g si trova che:

hm = (v0 sinθ0 / 2g

Infine, l'ultimo parametro del nostro supercannone è la gittata di un proiettile (R), un termine peraltro di uso comune. La gittata non altro che la distanza percorsa da un proiettile tra il punto di lancio e il punto in cui ripassa per y = 0; se l'asse x è orientato lungo il suolo, quando y torna a zero significa che il proiettile ha toccato il suolo. R è il valore di x calcolato per t = 2tm (si noti la simmetria del grafico). Ponendo x = R e t = 2tm = 2(v0 sinθ0) / g, si trova che l'espressione di R data dalle (2.c) è:

R = 2 (v0² sinθcosθ0) / g

Oppure, sapendo che sin 2α = 2 cosα sinα, abbiamo che:

R = (v0² sin 2θ0) / g

E ora, prima di concludere, domandone finale: quale angolo di proiezione deve avere il nostro cannone per lanciare un proiettile (ad un dato valore di v0 ) perché la sua gittata sia massima? Cioè fissata v0 quale angolo θ0 rende R massima? Anche stavolta la trigonometria ci viene in aiuto. Il seno (sin) raggiunge il suo valore massimo 1 quando è uguale 90°, nella nostra formula abbiamo sin 2θ0; affinché sin 2θ0 = 1 l'angolo θ0 deve essere uguale a 45°. Così possiamo scrivere la gittata massima del nostro proiettile anti-Camillo è:

R = v0² / g

Ma ora rispondiamo alla domanda: perché la fisica? Mah, sarà perché sono uno a cui piace riempire di numerini apparentemente senza senso pagine intere, oppure perché sono masochista, o forse perché il moto dei proiettili è stato uno dei pochi argomenti che ho ritenuto interessanti e ho voluto condividere con voi. Chissà, magari c'è qualche Avventore disperatissimo che ne vuole sapere di più su come eliminare il maligno Camillo e sta aspettando solo un articolo del genere per farlo...oh no!
Promesso che settimana prossima parliamo di cose più tranquille però!

Matt - Il Locandiere

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